Questa nuova sezione che oggi apriamo nel nostro spazio informativo è dedicata agli insegnanti di matematica delle scuole medie inferiori, si tratta di uno spazio gestito da un nostro amico Prof. Marco Mongelli, insegnante di matematica nelle scuole della provincia di Modena. Marco porta avanti ormai da anni un'attività di ricerca su innovativi percorsi didattici volti alla risoluzione dell'annoso problema dell'analfabetismo matematico diffuso nelle nostre scuole, come i recenti dati dei test PISA a livello europeo dimostrano. Spero che queste idee del nostro esperto possano catturare l'interesse dei nostri lettori, anche non insegnanti, che vogliano comunque approfondire alcuni aspetti affascinanti della scienza dei numeri. Buona Lettura!
Descrizione dell’attività
La classe 1°A della scuola secondaria di primo grado di Spilamberto ha svolto una lezione sui numeri primi incentrata sul crivello di Eratostene ad un’altra classe prima della stessa scuola. La lezione si è svolta con l’ausilio di cartelloni preparati dagli studenti nelle settimane precendenti l’evento. Ogni studente ha potuto fare il proprio intervento, facendo risultare così un lavoro d’insieme ben coordinato.
Materiali utilizzati
I materiali di partenza per motivare la classe sono stati siti e documenti
reperiti via internet riguardanti il crivello di Eratostene(http://it.wikipedia.org/wiki/Crivello_di_Eratostene). Successivamente è
seguita un’ulteriore documentazione relativa anche a Vita e studi di Eratostene Congettura di Goldbach, distribuzione dei numeri primi
In molti momenti di controllo sono state anche utilizzate le tavole numeriche riportate in coda al libro di testo.
Fasi della realizzazione
1. FASE PREPARATORIA:
la fase motivazionale ha riguardato inizialmente solo una parte della
classe, cioè i 10 studenti che in matematica mostrano le maggiori
difficoltà sia nell’impegno, sia nei risultati. Una volta portati in aula di
informatica a questi studenti è stato presentato l’argomento “il crivello
di Eratostene” come approfondimento della parte di programma che in
quel momento dell’anno la classe stava affrontando. Grazie
all’interattività del documento esplorato su internet gli studenti hanno
subito compreso i concetti essenziali.
2. SUDDIVISIONE IN GRUPPI:
Durante la fase successiva gli stessi studenti sono stati divisi in 3 gruppi e condotti nella realizzazione di cartelloni riguardanti il funzionamento del crivello di Eratostene. Inizialmente i gruppi hanno realizzato su un foglio di formato A4 una bozza del proprio prodotto finale e ciascun gruppo ha esposto la propria idea agli altri due utilizzando la lavagna in ardesia per riprodurre leproprie minute. Ci si è resi conto però che i tre lavori rischiavano di essere ripetitivi nei concetti fondamentali, pur se molto personali nell’impostazione e organizzazione grafica; pertanto l’insegnante ha suggerito a ciascun gruppo di approfondire alcuni aspetti quali la vita di Eratostene
e i suoi studi astronomici, in particolare la misurazione del meridiano terrestre. Per la realizzazione completa dei cartelloni sono state impiegate 6 ore di lezione.
3. PRESENTAZIONE DEL LAVORO:
Una volta terminati i propri elaborati i 10 studenti fino a quel momento coinvolti hanno presentato al resto della classe i propri lavori come se si trattasse di una lezione, con tanto di domande e chiarimenti da parte di uno e dell’altro gruppo. I tre gruppi hanno mostrato di aver compreso bene i concetti essenziali del lavoro, ma dovevano ancora sviluppare gli approfondimenti richiesti per caratterizzare il proprio operato.
4. APPROFONDIMENTI DI ALTRI ARGOMENTI:
La restante parte della classe è stata suddivisa in 2 gruppi. Il primo si è occupato di studiare ed approfondire la Congettura di Goldbach e l’altro della distribuzione dei numeri primi. I due gruppi hanno ricevuto dall’insegnante gli imput essenziali per il loro lavoro che poi è stato condotto autonomamente con la produzione di due cartelloni. In particolare l’insegnante ha spiegato brevemente la congettura di Goldbach (Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto comesomma di due numeri primi) e poi ha chiesto di ripensare a tutti i numeri compresi tra 2 e 100 come somma di 2 o al massimo 3 numeri primi. Gli studenti si sono subito messi al lavoro e nell’arco di un’ora hanno riscritto tutti i numeri secondo quanto postulato nella congettura. L’insegnante ha inoltre chiesto di approfondire la biografia di Goldbach attraverso una ricerca su internet. Il gruppo che ha studiato la distribuzione dei numeri primi, invece, ha dovuto letteralmente contare tutti i numeri primi compresi tra 2 e 5000 presenti in una qualunque tavola numerica posta in appendice al testo di aritmetica e risistemarli in un diagramma a colonne. Gli stessi hanno poi valutato anche la distribuzione dei primi 100 numeri primi, quelli trovati appunto grazie al crivello di Eratostene. L’insegnante ha fatto notare alcune caratteristiche di questa distribuzione:
• già nei numeri primi compresi tra 2 e 100 si assiste ad un andamento che non è regolare: i numeri primi, infatti, sembrano diminuire gradualmente.
• un fenomeno simile si osserva anche nel grafico dei numeri primi compresi tra 2 e 5000, in cui si può vedere un’ulteriore variazione dell’andamento in prossimità dei numeri compresi tra 3000 e 4000.
• c’è solo una coppia di numeri primi che differisce di un’unità (2-3); alcune invece differiscono di 2
unità (11-13, 17-19, 29-31...).
5. PREPARAZIONE DELLA LEZIONE
Per prima cosa è stata stabilita la scaletta degli argomenti da discutere. L’insegnante ha proposto i titoli dei principali argomenti da preparare permettendo agli studenti di decidere l’ordine con cui presentarli. Dopo una discussione collettiva si è giunti al seguente programma:
• Generalità sui numeri primi
• Il Crivello di Eratostene
• I criteri di divisibilità
• La distribuzione dei numeri primi
• La congettura di Goldbach
• Il criterio generale di divisibilità
• Un momento per le domande ed eventuali chiarificazioni
Successivamente, per ogni punto trattato è stato scelto un piccolo gruppo di studenti che aveva il compito di sviluppare tale argomento, per permettere a tutti gli studenti di esporre ed esporsi. Per il secondo punto del programma (ilCrivello di Eratostene) si è previsto l’intervento dei 3 gruppi interessati nel lavoro iniziale sull’esperienza di Eratostene, ognuno dei quali,evitando inutili ripetizioni, ha affrontato un particolare aspetto de lmatematico greco, quali la sua vita e i suoi studi in campo astronomico. E’ seguita una simulazione della lezione in aula magna, luogo prescelto per l’evento, che ha visto la creazione di una figura, una persona che coordinasse i vari gruppi nel succedersi degli interventi. L’insegnante ha pertanto designato un “presentatore” che annunciasse i singoli gruppi al termine di ogni intervento. Durante la simulazione gli studenti hanno mostrato notevole serietà nell’attendere il proprio turno di parola ascoltandosi reciprocamente. In questa fase sono emersi anche numerosi suggerimenti sia da parte dell’insegnante, sia da parte degli studenti in ascolto sul come presentare l’argomento.
L’evento-lezione
Pochi istanti prima che la lezione avesse inizio la tensione fra gli studenti era palpabile e si è assistito a frenetiche corse a ripassare la propria parte di argomento da esporre. Si è percepita una tensione positiva che ha reso molto bene l’idea di quanto gli studenti tenessero a questo evento e a fare una buona impressione sulla classe “discente”; la lezione si è svolta in presenza di una classe prima e del suo insegnante di matematica. Gli studenti-insegnanti hanno mostrato alcuni segni di emozione, presto controllata, ed hanno portato avanti i loro argomenti senza impedimenti o intoppi di rilievo. La lezione si è conclusa in poco meno di 30 minuti, durante i quali la classe-discente ha mostrato attenzione e interesse in quanto esposto dagli studenti. Al termine della lezione non ci sono state domande, ma solo approvazione con gli applausi, che più di qualsiasi altra cosa ha riempito di soddisfazione i vari gruppi che avevano terminato le loro dissertazioni.
Valutazione dell’esperienza
Trattandosi di un lavoro svolto in un arco di tempo abbastanza lungo (circa 12 ore) l’insegnante è ricorso ad annotazioni su un diario di bordo per formulare la valutazione finale. Il risultato è andato ben oltre le più rosee aspettative, perchè ha visto il coinvolgimento di tutti e una partecipazione che, specie nelle ultime fasi, si è fatta frenetica e molto costruttiva. Nelle fasi iniziali qualche studente, forse non capendo la finalità ultima del lavoro, ha manifestato un impegno un po’ scarso, in linea con il proprio comportamento usuale, ma alla fine ha dato comunque un contributo valido e significativo. La valutazione è stata dunque per tutti ampiamente soddisfacente, pur con le dovute e riconosciute differenze. Rimane, al di là di tutto, un’esperienza che gli studenti hanno vissuto in generale con senso di responsabilità e che li ha resi partecipi in prima persona dei propri apprendimenti.
